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Literaturbeispiel zur Laplace- Transformation,  Beispiel aus Lehrbuch
Brauch-Dreyer-Haacke Mathematik für Ingenieure, Teubner Seite 611
Im Lehrbuch wird die nachfolgende Schaltung behandelt.

Der Nachteil der im Lehrbuch  mühsam gefundenen Laplace- Lösung ist, dass die Formeln   nur für die speziellen Zahlenwerte der Schaltung gelten, nicht aber für „symbolischen“ Parameter   um, f, R1, R2, C.

Daher kann  man mit dieser Art der mathematischen Beschreibung nicht „experimentieren“, z.B. die „Resonanz“ finden oder den
„Einschwing-Vorgang“ bei nicht exakter Resonanz, nämlich das Auftreten von „Schwebungen“ studieren etc  etc  etc.

Der prinzipielle Vorteil einer analytischen Lösung (gegenüber der numerischen Methode), nämlich unabhängig von „speziellen“ Zahlenwerten zu sein, entfällt also bei dem hier mit Laplace- Transformation behandelten Beispiel, weil ja  die Parameter nicht als „frei wählbar“ vorkommen, sondern die Formeln nur für die speziellen Zahlenwerte gelten.

Bei der numerischen Methode haben zwar die Parameter ebenfalls nur spezielle Zahlenwerte, aber diese sind frei wählbar, so dass man sie nach Herzenslust variieren kann und auf die  Weise die „physikalischen“ Eigenschaften der betrachteten Schaltung studieren kann Dadurch erst wird die Mathematik nützlich für den Ingenieur. Hätte die obige Schaltung noch einen Energiespeicher (L oder C ) mehr, könnte man gar keine Laplace-Rücktransformation mehr finden. Numerisch dagegen wäre die Berechnung des Zeitbereichs keinerlei Problem, auch bei beliebig vielen Energiespeichern!

Drum die ketzerische Frage: Wozu braucht der Mensch die Laplace-Transformation, wo es doch „numerisch“ viel besser geht, nämlich sehr viel einfacher und sehr viel universeller ??

Bekanntlich kann man die Laplace-Transformation bei nichtlinearen Systemen gar nicht anwenden. Solche können nur numerisch gelöst werden. Es ist also sinnvoll, in der Lehrmethodik

und auf die Schwächen der Laplace-Transformation hinzuweisen.

Weitere Beispiele für das Versagen der Laplace-Transformation: ../fuellst/fuell1.html    ../winkelreg/winkelreg.html   ../pad/pad.html
        ../Reibklotz/Reibklotz1h.html
Hier das Aufstellen der DGLn  der obigen Schaltung  für  die numerische Simulation:

Knoten K: Strom durch R1 = Strom durch C + Strom durch L =>
   ( u0 - u ) / R1 = C * du / dt + i2                  =>       du / dt = ( ( u0 - u ) / R1 – i2 ) /C     (DGL für u)
Masche M : u = L * di2 / dt + R2 * i2          =>      di2 / dt = ( u - R2*i2) / L ).            (DGL für i2
Zum Vergleich mit Laplace- Formel          i1H:           i1 = (u0-u)/R1
 
 

DGL=0                                     { Beginn der Runge-Kutta-Schleife}
u0=aS*cos( 2 * pi * f * t)         { u0 = angelegte Spannung }
u = rk ( ( (u0-u)/R1 - i2 ) /C )   { u = Kondensatorspannung.    Die Steigung du/dt steht in der Klammer hinter rk  }
i2 = rk ( (u - R2 * i2 ) /L )        { i2 = Strom durch die Spule.   Die Steigung di/dt  steht in der Klammer hinter rk  }
END=0                                     { Ende der Runge-Kutta-Schleife}
i1=(u0-u)/R1                             {  i1 = Strom durch R1}
i2H=0.1593*cos(pi*100*t-1.305)-0.2518*exp(-300*t)*cos(245*t-1.404) { i2H  = Formel für i2 im Lehrbuch}
i1H=0.2502*cos(314*t+0.257)+0.0796*exp(-300*t)*cos(245*t-0.518)     { i1H = Formel für i1 im Lehrbuch}
di1=i1H-i1                      { di1 = Differenz Lehrbuchformel minus numerischer Wert i1}
di2=i2H-i2                      { di2 = Differenz Lehrbuchformel minus numerischer Wert i2}
t=t+dt {  t = Zeit dt = zeitliche Schrittweite. Die Zeilen werden so lange wiederholt bis t > tmax}

Kommentar im File    BDH611_1.TXT
Beispiel aus Brauch-Dreyer-Haacke Mathem. f. Ingenieure,Teubner S.611
Schaltung: Cosinus wird eingeschaltet über R1 an Parallelschaltung von C und
Reihenschaltung von L und R2.
Im Lehrbuch wird 3 Seiten Aufwand  der Strom i1 durch R1 und Strom i2 durch L
berechnet. Aber keine "allgemeinen" Parameter (R1,R2, L, C) sondern nur
die speziellen Zahlenwerte.
i2H   und   i1H   sind die Ergebnis-Formeln im Buch (Index H = Haacke)
Die Tephys-Simulation liefert mit wachsender Zeit wachsende Abweichung vom Laplace-Ergebnis..
Grund:im Buch wird mit pi=3.14 gerechnet statt exakt. vgl. die Tephys-Bilder

Vergleich Tephys-Rechnung mit Laplace-Rechnung. Im Lehrbuch wirde mit 3.14 gerechnet statt mit pi.
Drum Abweichungen mit der numerischen Rechnung. ( vgl. Kommentar-Text in der Figur)

Tephys-Bild 3: Die Literatur- Formeln i1H und i2H wurden mit 3.14 statt pi gerechnet.
Drum ist sind die Differenzen di1= i1H - i1 und di2=i2H – i2 deutlich. vgl die Tabelle in der Figur
 
 

Simulink-Modell der RLC-Schaltung aus Brauch-Dreyer-Haacke Seite 611,
gleiche Werte wie im Tephys-Modell der Tephys-Bild 3 (oben)
Auch mit Simulink kann man die Parameter natürlich beliebig variieren!

plot( t, u0, 'm', t , (i2H-i2)*1e5 , ':w' , t , (i1H-i1)*1e5 , 'w' ) ; grid; zoom on;

Also punktiert ist die Kurve  (i2H-i2) * 1e5 , schwarz  ist die Kurve  (i1H-i1) * 1e5
Im Simulink-Modell wurden exakt die gleichen Parameter benutzt wie im Tephys-Modell (vgl. obiges Tephys-Bild 3 ). Die Tabellenwerte im
Tephys-Bild zeigen Übereinstimmung mit den Kurven des Simulink-Bildes. Die beiden Simulations-Methoden (Tephys und Simulink) stimmen also überein, aber beide Male ergeben sich Abweichungen von den Literatur-Formeln i1H und i2H (weil dort 3.14 statt pi verwendet wurde).