Animationen


 

Trigonometrische Funktionen: Sinusfunktion

Die Animation zeigt, wie durch Projektion des rotierenden Punktes P auf die x-Achse bzw. y-Achse jeweils die Sinus- bzw. Kosinusfunktion entsteht.

Trigonometrische Funktionen: Kosinusfunktion

Die Animation zeigt, wie durch Projektion des rotierenden Punktes P auf die x-Achse bzw. y-Achse jeweils die Sinus- bzw. Kosinusfunktion entsteht.

Beschreibung harmonischer Schwingungen in Komplexen

Die Animation zeigt, wie durch Projektion des komplexen Zeigers exp(i w t) auf die reelle bzw. imaginäre Achse jeweils die Sinus- bzw. Kosinusfunktion entsteht.

Konvergenz reeller Zahlenfolgen

Die Animation zeigt, wie die reelle Zahlenfolge an=1+(-1)^n 1/n gegen den Grenzwert 1 konvergiert.

Intervallhalbierungs-Methode

Die Animation zeigt, wie die Nullstelle einer Funktion durch iterative Intervallhalbierung eingeschlossen wird und das einschließende Intervall sich systematisch verkleinert.

Ableitung einer Funktion

In der Animation erkennt man, dass der Punkt Q auf der Kurve von f entlang zum Punkt P wandert. Dabei nähert sich die Sekante an die Tangente an und die Sekantensteigung geht in die Tangentensteigung über.

Anwendung der Differenzialrechnung: Magnetfeld eines Spulenpaares auf der Achse

In der Animation variiert der Abstand der Leiterschleifen. Für den Fall, dass der Abstand der Leiterschleifen gleich dem Spulenradius, ist das Magnetfeld auf der Achse homogen (=Helmholtz-Spulenpaar).

Newton-Verfahren

In der Animation wird die Konstruktion des Newton-Verfahrens ausgehend von einem Startwert gezeigt.

Integralgechung: Das bestimmte Integral

In der Animation wird die Konstruktion des bestimmten Integrals gezeigt. Für n --> unendlich geht die Zwischensumme zum bestimmten Integral über.

Potenzreihen

In der Animation (die Ordnung der Potenzreihe wächst an) wird gezeigt, dass die Potenzreihe nur in einem bestimmten Intervall konvergiert; außerhalb dieses Bereichs geht die Funktion gegen +/- Unendlich.

Taylor-Reihen

In der Animation (die Ordnung der Taylor-Reihe wächst an) wird gezeigt, dass die Taylor-Reihe in ihrem Konvergenzbereich gegen die Funktion gleichmäßig konvergiert (sofern das Restglied gegen Null geht).

Taylor-Reihe der Exponentialfunktion

In der Animation (die Ordnung der Taylor-Reihe wächst an) wird gezeigt, dass die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion gleichmäßig gegen exp(x) konvergiert.

Darstellung von Funktionen von zwei Variablen

In der Animation (der Blickwinkel auf die Funktion ändert sich) wird gezeigt, dass eine Funktion über ein 3D-Schaubild dargestellt werden kann bzw. im Übergan des Blickwinkels von oben auch durch die Höhenlinien charakterisiert werden kann.

Lineare Differenzialgleichungssysteme

In der Animation wird gezeigt, dass es bei der Auslenkung eines Doppelpendelsystems zu einer Schwebung kommt. Nur für den Fall, dass man als Anfangsauslenkung einen "Eigenvektor" nimmt, wird eine Eigenschwingung angeregt, bei der beide Pendel harmonisch schwingen.

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

Anwendungsbeispiel: Freie gedämpfte Schwingung. In der Animation wird gezeigt, wie der Übergang von keiner zu schwacher Dämpfung bis hin zum aperiodischen Grenzfall erfolgt.

Fourier-Reihe periodischer Funktionen

In der Animation (die Ordnung der Fourier-Reihe wächst an) wird gezeigt, dass die Fourier-Reihe einer Funktion punktweise an die Funktion konvergiert. An Sprungstellen kommt es zu Überschwingern (Gibbsches Phänomen).

Fourier-Transformation nicht-periodischer Funktionen

In der Animation (das Zeitfenster T wächst an) wird gezeigt, wie beim Übergang von periodischen zu nicht-periodischen Funktionen das Spektrum von einem diskreten zu einem kontinuierlichen Spektrum übergreht.

Fourier-Transformation der Deltafunktion

In der Animation wird gezeigt, das Spektrum eines Rechtecks sich ändert, wenn man von einem endlichen Impuls der Länge T und Höhe 1/T die Impulsbreite gegen Null gehen lässt.

Fourier-Transformation der Deltafunktion

In der Animation wird gezeigt, das Spektrum eines Rechtecks sich ändert, wenn man von einem endlichen Impuls der Länge T und Höhe 1/T die Impulsbreite gegen Null gehen lässt.

Wellengleichung 1D

In der Animation wird gezeigt, wie ein Impuls zum Zeitpunkt t=0 für Zeiten t>0 nach rechts läuft. f(x-c t) ist für beliebiges (zweimal stetig differenzierbares) f eine Lösung der 1D Wellengleichung.

Wellengleichung 1D

Lösung der Wellengleichung für eine beidseitig eingespannte Saite, wenn zum Zeitpunkt t=0 eine Anfangsauslenkung u0(x) gegeben ist.

Wärmeleitungsgleichung

Zerfließen der Temperatur in einem wärmeisolierten Stab ausgehend von einer Anfangstemperaturverteilung To(x).

Balkenbiegungsgleichung

Schwingungen eines beidseitig eingespannten Balkens.

Wellengleichung 2D

Grundschwingung n=1, m=3 einer Rechteckmembran als Lösung der zweidimensionalen Wellengleichung.